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平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1、充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3、唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。

但因a≠0，所以λ=μ。

实质作用

这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在平面直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

向量OP=xi+yj。

因此向量，a=xi+yj。

我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。

显然，其中（x，y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

归纳

1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。

2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量 ，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。